решение задач по финнсовой математике

Задачи с решениями по финансовой математикеPDFПечатьE-mail

Задачи с решениями по финансовой математике

1. Банк начисляет 50 рублей обыкновенного простого процента за использование 3000 рублей в течение 60 дней. Какова норма простого процента такой сделки?

Решение:

Простой процент вычисляется по формуле:

R = iP * (t/T);

50 =i 3000* (60/365);

I = 365*50 /(3000*60) = 0,1014 (10,14%)

Или:

S = P (1+i); (50+ 3000) = 3000 (1+i); 3050 = 3000 + 3000 i; 50/3000 = i; i = 0,0167 (1,67 %) – за 60 дней (два месяца); за год: i = 0,0167*365/60 = 0,101388 (10,14%);

2. Вексель с суммой погашения 100 тыс. рублей продан при норме простого дисконта 3,5% за 72 дня до даты погашения. Найти дисконт и выручку.

Решение:

В случае простого дисконта:

P = S (1 — nd);

Выручка:

P = 100000 (1 – 0,035* 72/365)= 100000 *0,993 = 99300 руб.

Дисконт составит:

100000 – 99300 = 700 руб.

3. При какой годовой ставке сложного процента деньги удваиваются через 12 лет?

Решение:

Sn = P(1+i)n

2 = 1 (1+i)12

(1+i)12 =2

Прологарифмируем полученное выражение:

12 lg (1+i) = lg2; lg2 = 0,3

12 lg (1+i) = 0,3

Lg (1+i) = 0,0025; (1+i) = 1, 06; i = 0,06 (6%)

Можно было не делать таких сложных расчетов. В учебниках по банковскому делу и ценным бумагам прилагаются таблицы, в которых показывается будущая стоимость единицы при определенной годовой ставке через определенный период времени.

Единица удваивается через 12 лет при 6% годовых.

4. Какая сумма при выплате через 3 года эквивалентна 10 тыс. рублей, выпла­чиваемых через 10 лет от настоящего момента, если норма процента равна 5% в год?

Решение:

Эквивалентная процентная ставка:

J = (1+ i)m/n -1 =(1+ 0,05)10/3 -1;

(1+ i)m = (1+ j)n = (1 + 0,05)10

(1+ j)n = (1 + 0,05)10 = 1,6289

Отсюда:

(1+ i)3 =1,6289; (1+ i) = 1,1768; i = 0,1768 ≈ 17,7%

По ставке сложного процента:

При n = 3 и 5 %

Будущая стоимость единицы: 1,1576

Sn = P(1+i)n

Р = 10000/1,6289 = 6139,11 руб.

Тогда: 6139,11*1,1576 = 7139,63 руб.

5. Какие ежеквартальные взносы необходимо делать в банк, начисляющий 1,5% в квартал, чтобы за 5 лет скопить 500 тыс. рублей?

Решение:

Полагающийся аннуитет:

500 000 = R *[(1+0,015 )4*5 -1] /0,015 * (1 + 0,015);

(1,34685-1)/0,015* 1,015 = 23,47044;

Отсюда: R = 500000/ 23,47044= 21303,4 руб.

6. Иванов вносит в сберегательный банк 500 рублей в конце каждого квартала. В конце каждого года банк начисляет 4% сложных процентов. Какая сумма будет на счете Иванова через 5 лет?

Решение:

По формуле обыкновенного общего аннуитета:

S = 500 * ((1+0,04)5*1 -1)/ ((1+ 0,04)1/4 -1 ) = 500* 0,2167/0,00985 = 11 000 руб.

7. Какую сумму денег нужно иметь на счете, чтобы обеспечить вечную ренту в размере 1500 рублей в месяц, если банк начисляет 3% в квартал?

Решение:

Вечная рента – это аннуитет, платежи которого продолжаются в течение неограниченного времени

Эквивалентная процентная ставка равна:

J =(1+i)m/p -1 = (1+ 0,03)4/12 -1= 1,0108 -1 = 0,0108

M=4; p =12

А =R/j = 1500/0,0108 = 138888,88 руб.

8. Облигация на 100 тыс. рублей, по которой выплачивается 5% годовых, бу­дет выкупаться через 15 лет по номинальной стоимости. За какую цену ее следует купить, чтобы обеспечить покупателю норму доходности 3% Годовых?

Решение:

Доход по облигации представляет собой поток периодических платежей в конце каждого года (простой аннуитет) и разовую выплату в конце всего срока действия облигации.

С=N = 100000 руб.,

Ежегодные выплаты: R = 5000 руб., i =0,03

Цена покупки:

Р = 5000* [ 1-(1+0,03)-15]/0,03 + 100000 (1+0,03)-15 = 5000 *(1-1/1,5580)/0,03 + 100000(1/1,0315) = 5000 * 11,9384 + 100000*0,64185 = 123877 руб.

9. Рассчитайте, что выгоднее для вкладчика: получить 20 000 рублей сегодня или получить 35 000 рублей через 3 года, если процентная ставка равна 17%.

Решение:

Рассчитаем будущюю стоимость 20000 рублей через 3 года, под 17% годовых.

FV = 20000 * (1 + 0,17)3 = 32032 рубля.

Ответ. Получить 35000 рублей через 3 года является более выгодным решением, при данном значении процентной ставки.

10. Сколько лет потребуется для того чтобы из 1000 рублей, положенных в банк, стало 20000 рублей, если процентная ставка равна 14% годовых?

Преобразуем формулу к следующему виду:

(1 + r)n = FV / PV и подставим значения;

1,14n = 20000 / 1000 = 20, отсюда n = log 1,14 20 = 22,86 года.

Ответ. 1000 рублей нарастится до 20000 рублей при 14% годовой ставке за 22,86 года.

При расчете числа лет необходимо учитывать, что в формуле подразумевается целое число лет и цифры, рассчитываемые после запятой, имеют приблизительные значения, характеризующие близость к целому значению лет.

11. Какой должна быть ставка ссудного процента, чтобы 10 000 рублей Нарастились до 30 000 рублей, за срок вклада 5 лет?

Преобразуем формулу к следующему виду:

R = (FV / PV)1/n — 1 и подставим значения;

R = (30 000 / 10 000)1/5 — 1;

R = 0,24573 или 24,573 %.

Ответ. 10 000 рублей нарастятся до 30 000 рублей за 5 лет при ставке ссудного процента 24,573%

12. Капитал величиной 4000 денежных единиц (д. е.) вложен в банк на 80 дней под 5% годовых. Какова будет его конечная величина.

Решение.

Способ 1.

,

K’ = K + I = 4000+44=4044,

где K – капитал или заем, за использование которого заемщик выплачивает определенный процент;

I – процентный платеж или доход, получаемый кредитором от заемщика за пользование денежной ссудой;

P – процентная ставка, показывающая сколько д. е. должен заплатить заемщик за пользование 100 ед. капитала в определенном периоде времени (за год);

D – время, выраженное в днях.

360 – число дней в году.

Способ 2.

Время t = 80/360 = 2/9.

K’ = K + K×i×t = 4000(1 + 0.05×2/9) = 4044,

Где i – процентная ставка, выраженная в долях единицы,

T – время, выраженное в годах.

13. На сколько лет нужно вложить капитал под 9% годовых, чтобы процентный платеж был равен его двойной сумме.

Решение

2×K = I.

2×K = K×9×g/100,

G = 2×100/9 = 22.22

14. Величина предоставленного потребительского кредита – 6000 д. е., процентная ставка – 10% годовых, срок погашения – 6 месяцев. Найти величину ежемесячной выплаты (кредит выплачивается равными долями).

Решение

Таблица — План погашения кредита (амортизационный план)

Месяц

Долг

Процентный

платеж

Выплата

долга

Месячный

взнос

6000

10%

1

5000

50

1000

1050

2

4000

42

1042

3

3000

33

1033

4

2000

25

1025

5

1000

17

1017

6

¾

8

1008

175

6000

6175

Объяснение к таблице

Месячная выплата основного долга составит:

K / m = 6000/6 = 1000.

Месячный взнос представляет собой сумму выплаты основного долга и процентного платежа для данного месяца.

Процентные платежи вычисляются по формуле:

,

Где I1 – величина процентного платежа в первом месяце;

P – годовая процентная ставка, %.

Общая величина выплат за пользование предоставленным кредитом:

=175.

Общая величина ежемесячных взносов:

=1029.

15. Вексель номинальной стоимостью 20000 д. е. со сроком погашения 03.11.05. учтен 03.08.05 при 8% Годовых. Найти дисконт и дисконтировать величину векселя.

Решение

Так как нам известна номинальная величина векселя, дисконт, находим по формуле:

=409,

Где Kn – номинальная величина векселя;

D – число дней от момента дисконтирования до даты погашения векселя;

D – процентный ключ или дивизор (D = 3600/p = 36000/8 = 4500).

Дисконтированная величина векселя равна разности номинальной стоимости векселя и дисконта (процентного платежа):

20000 – 409 = 19591.

16. Пусть в банк вложено 20000 д. е. под 10% (D) годовых. Найти конечную сумму капитала, если расчетный период составляет: а) 3 месяца; б) 1 месяц.

Решение

При декурсивном (d)расчете сложных процентов:

Kmn = K×Ip/mmn, Ip/m = 1 + p/(100×m),

Где Kmn – конечная стоимость капитала через N лет при p% годовых и капитализации, проводимой M раз в год.

А) K = 20000×I2.54 = 20000×(1 + 10/(100×4))4 = 20000×1.104 = 22076 д. е.

Б) K = 20000×I10/1212 = 20000×(1 + 10/(100×12))12 = 20000×1.105 = 22094 д. е.

При антисипативном (a) способе расчета сложных процентов:

Kmn = K×Iq/mmn, Iq/m = 100m/(100m — q),

Где q – годовой прцент.

А) K = 20000×(100×4/(100×4 – 10))4 = 20000×1.107 = 22132 д. е.

Б) K = 20000×(100×12/(100×12 – 10))12 = 20000×1.106 = 22132 д. е.

17. Номинальная годовая ставка – 30%. Найти уравнивающую процентную ставку при начислении сложных процентов каждые 3 месяца.

Решение

= 6.779%.

18. Каждые три месяца в банк вкладывается по 500 д. е. Какова будет совокупная сумма этих вкладов в конце 10-го года при процентной ставке 8% и годовой капитализации.

Решение

Сначала для годовой процентной ставки 8% определим процентную уравнивающую ставку:

=1.9427%

Затем полученную уравнивающую ставку поместим в следующую формулу:

Svmn = u× , где rk = 1 + pk/100,

Где v – число вкладов в расчетном периоде,

n — число лет,

m – число капитализаций в год.

Тогда

Rk = 1 + 1.9427/100 = 1.0194

S4×10 = 500× = 500×60.8157 = 30407.84 д. е.

19. Насколько увеличатся годовые вклады по 2 000 д. е. в течение 4 лет при 8% годовых, если капитализация производится раз в три месяца и первый вклад вносится в конце первого года.

Решение

,

U1 = u×I2%4 / III2% = 2000×1.0824 / 4.204 = 514.93 д. е.

Snm = 514.93×III2%3×4 + 2000 = 514.93×13.6803 + 2000 =

= 9044.41 д. е.

20. По одному из вкладов в банке в течение 20 лет накоплено 200 000 д. е. Найти сумму, положенную на счет первоначально, если годовая процентная ставка (D) составляет 8%.



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст


Предыдущий:

Следующий: