Логарифмические уравнения. 10-й класс

Цели:

  • обеспечить повторение, обобщение и
    систематизацию материала темы;
  • способствовать развитию навыков
    самостоятельной работы, самопроверки,
    самоконтроля;
  • создать условия для развития познавательного
    интереса учащихся;
  • воспитывать ответственность за качество и
    результат выполняемой работы на уроке;
  • создать комфортные условия для эффективной
    работы в группах учащихся.

Тип урока: урок обобщения и
систематизации знаний.

Форма урока: семинар-практикум.

Задачи:

  • Повторить теорию. В теоретическом блоке
    обратить особое внимание на ОДЗ
    логарифмической функции.
  • Систематизировать методы решения
    логарифмических уравнений.
  • Завершить повторение теоретического
    материала тренировочными упражнениями.
  • Осуществить диагностику знаний.
  • Заслушать сообщения учащихся

Формы учебной деятельности учащихся:
индивидуальная, парная, коллективная,
фронтальная.

Оборудование: медиапроектор, тесты,
презентации, таблицы, карточки.

План занятия:

  1. Оргмомент.
  2. Мотивация учебной деятельности.
  3. Актуализация опорных знаний.
  4. Сообщение учащегося: «Логарифмы и музыка»
  5. Систематизация учебного материала;
    презентации методов решения
    логарифмических уравнений:

а) решения уравнений с помощью определения
логарифма;
б) преобразования уравнений, используя свойства
логарифмов;
в) замена переменных в уравнениях;
г) логарифмирование уравнений;
д) функционально-графический метод.

  1. Тренировочные упражнения, закрепление умений и
    навыков (практикум : заполни пропуски, проверь
    себя )
  2. Сообщение учащегося: «Логарифмическая
    функция в природе и технике».
  3. Реши сам : проверочная работа по теме: «Методы
    решения логарифмических уравнений».
  4. Сообщение учащегося: «Загадочные круги»
  5. Подведение итогов. .
  6. Домашнее задание.
  7. Литература.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент

Учитель сообщает о том, что сегодня
заключительное занятие по теме «Логарифмические
уравнения».Объявляется тема, цели и задачи
уроков ,ход занятия .Говорит о том ,что на
этих двух уроках воспроизведём повторяемый
материал, проведём систематизацию и
обобщение ранее изученного материала, а также
углубим и расширим имеющиеся знания.

2. Мотивация учебной деятельности учащихся

В условиях современного ЕГЭ наилучшие
результаты показывают учащиеся, которые в
отведённое время решают больше заданий,
которые прочно знают различные методы их
решения. Научиться этому можно только путём
решения заданий сгруппированных в
систему и последующего анализа этих решений,
чем мы сегодня и будем заниматься.

3. Актуализация опорных знаний

1) Проецируется таблица «Краткие теоретические
сведения», содержащие определение, свойства
логарифмов. Ученики должны восстановить правую
часть этих формул. Затем отдельно
показывается таблица «хитрости» свойств
логарифмов, в которой поясняется , когда
при логарифмировании необходимо сохранять
модуль под логарифмируемого выражения
.Последнюю таблицу учащиеся записывают в
тетради

2) Устно: составить соответствие между
заданием и ответом к нему (парная
работа на карточках, с последующей проверкой).

а) Представьте число « а» в виде
логарифма по основанию « в»

Задание:
Ответ:

а = 0, в =
1,05

а = 1 в =

а = 3, в =
2
1 =
а = 0, в =
10
2 = 9
а = 2, в =
4
0 = 1

б) Найдите область определения функций :

Задание:
Ответ:

Y =(x+3)
X< 2
Y = (2–x)
X < 0
Y = (–x
)
0 < X< 9, X # 1
Y = X>
–3

4. Сообщение учащегося «Логарифмы и музыка»

Музыканты редко увлекаются математикой.
Большинство из них питают к этой науке чувство
уважения. Между тем, музыканты – даже те, которые
не проверяют подобно Сальери у Пушкина
“алгеброй гармонию”, встречаются с математикой
гораздо чаще, чем сами подозревают, и притом с
такими “странными” вещами, как логарифмы.
Известный физик Эйхенвальд вспоминал:

Воспоминания Эйхенвальда:

«Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле,
но не любил математику. Он даже говорил с
оттенком пренебрежения, что музыка и математика
друг с другом не имеют ничего общего. “Правда,
Пифагор нашел какие-то соотношения между
звуковыми колебаниями, – но ведь как раз
пифагорова – то гамма для нашей музыки и
оказалась неприемлемой”. Представьте же себе,
как неприятно был поражен мой товарищ, когда я
доказал ему, что, играя по клавишам современного
рояля, он играет, собственно говоря, на
логарифмах”.
И действительно, так называемые ступени
темперированной хроматической гаммы (12–
звуковой) частот звуковых колебаний
представляют собой логарифмы. Только основание
этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в
других случаях).

Положим, что
ноте “до” самой низкой октавы – будем ее
называть нулевой – соответствует частота,
равная п колебаниям в секунду. В октаве
частота колебаний нижнего звука в 2 раза меньше
верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1 : 2.
Тогда ноте “до” первой октавы будут
соответствовать 2п колебания в сек., а ноте
“до” m-ой октавы – колебания в
сек. И т.д.. Тогда высоту, т.е. частоту любого звука
можно выразить формулой

Здесь p – номер ноты хроматической гаммы рояля

5. Систематизация знаний, умений и
навыков.

Сообщения учащихся с презентацией по
теме «Методы решения логарифмических
уравнений»:

1) Решение логарифмических уравнений по
определению логарифма (1 группа.)

Закрепление: 1) Заполни пропуски. 2) Проверь себя.
(Приложение 1).

2) Преобразование логарифмических
уравнений (2 группа.)

Закрепление: 1) Заполни пропуски. 2) Проверь себя.
(Приложение 2).

3) Замена переменных. (3 группа.)

Закрепление: 1) Заполни пропуски. 2) Проверь
себя. (Приложение 3)

4) Логарифмирование обеих частей уравнения. (4
группа).

Закрепление: 1) Заполни пропуски. 2)
Проверь себя. (Приложение
4
)

5) Функционально-графический способ. (5
группа)

Закрепление: 1) Заполни пропуски. 2) Проверь себя.
(Приложение 5).

Учитель: Итак, применяя формулы
свойств логарифмов справа налево, необходимо
помнить, что это может повлечь за собой появление
посторонних корней. В этом случае нужно
сделать проверку или установить соответствие
полученных корней ОДЗ.
При использовании формул слева направо возможна
потеря корней. Чтобы этого избежать
нужно не забывать писать под логарифмируемые
выражения с модулем. Эти выводы ученики
записывают в тетради.

6. Сообщение учащегося:
«Логарифмическая спираль в природе и технике»

В технике часто применяют вращающиеся ножи
(Рис. 1). Сила, с которой они давят на разрезаемый
материал, зависит от угла резания, т.е. угла между
лезвием ножа и направлением скорости вращения.
Для постоянства давления нужно, чтобы угол
резания сохранял постоянное значение, а это
будет в том случае, если лезвия ножей очерчены по
дуге логарифмической спирали (Рис. 2).Величина
угла резания зависит от обрабатываемого
материала.
В гидротехнике по логарифмической спирали
изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям
турбины. Благодаря такой форме трубы потери
энергии на изменение и направление течения в
трубе оказываются минимальными, и напор воды
используется с максимальной
производительностью.
Живые существа обычно растут, сохраняя общее
начертание своей формы. При этом чаще всего они
растут во всех направлениях – взрослое существо
и выше и толще детёныша. Но раковины морских
животных могут расти лишь в одном направлении.
Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им
приходится скручиваться, причём рост
совершается так, что сохраняется подобие
раковины с её первоначальной формой. А такой
рост может совершаться лишь по
логарифмической спирали. Поэтому раковины
многих моллюсков, улиток (Рис. 3), а также рога
таких млекопитающих, как архары (горные
козлы),закручены по логарифмической спирали.
Можно сказать, что эта спираль является
математическим символом соотношения формы и
роста. Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфган
Гёте считал её даже математическим символом
жизни и духовного развития.
По логарифмической спирали очерчены не только
раковины, но и в подсолнухе семечки расположены
по дугам, близким к логарифмической спирали и т.
д.. Один из наиболее распространённых пауков,
эйпера, сплетает нити вокруг центра по
логарифмическим спиралям (Рис. 4). По ним также
закручены и многие галактики, в частности
Галактика, которой принадлежит Солнечная
система. (Рис. 5)

Рис. 1

Рис. 2

Рис.
3
Рис.
4

Рис. 5

7. Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Решите уравнения:

а)
б) ;
в) ;
г) ;
2. Найдите сумму корней уравнения
10000.

Вариант 2

1. Решить уравнения :

а) ;
б) ;
в)
г) ;

2. Найдите произведение корней уравнения:

8. Сообщение учащегося: Загадочные Круги

Первые круги на полях были замечены в 1972-м году,
когда два очевидца, Артур Шаттлвуд и
Брюс Бонд, сидели на склоне холма, надеясь
увидеть тот загадочный неопознанный летающий
объект, сделавший этот район Англии Меккой для
уфологов. Но то, что они увидели этой лунной
ночью, было несколько более экстраординарным: в
сотне футов они заметили, как часть колосьев
веерообразно полегла, образовывая ровный круг.
С того момента поступило около восьмидесяти
сообщений о точно таких же происшествиях.
Появление круга занимает около двадцати секунд,
и часто сопровождается скрипящим звуком, который
был записан на пленку и признан НАСА как звук
искусственного происхождения. Спустя декаду
феномен начал проявлять себя количественно. К
тому моменту насчитывалось уже больше 9000
сообщений о КНП по всему миру, 90% которых
поступило из Англии. В который раз
правительство пытается подчинить себе
общественное мнение о нло, используя метод
дезинформации. Но настоящие фигуры можно
отличить от фальшивок.
Настоящие фигуры математически точны, в
некоторых зашифрованы различные сложные
теоремы. Края настоящих фигур сильно отличаются
от фальшивок, так как выведены с хирургической
точностью. Колосья закручены в спираль, в которой
используются те же логарифмические пропорции,
что и в числах Фибоначчи или золотой пропорции,
которые, впрочем, можно найти и в природе,
например в ракушке или роге барана. Еще одна
особенность настоящих кругов – это повышенное
инфракрасное излучение внутри и снаружи фигуры
также при изготовлении настоящего круга
загадочные силы используют чрезвычайно сложные
формы Евклидовой геометрии, чтобы изменить
магнитную структуру, из-за чего компасы не могут
определить, где север, а где юг. При этом камеры,
мобильные телефоны и батареи не функционируют, и
приборы самолета начинают дурить при пролете над
фигурой, счетчики Гейгера показывают увеличение
радиации примерно в три раза по сравнению с
нормальным фоном. Животные из окрестных ферм
избегают место фигуры на поле даже до того, как
фигура появится. Очень часто автомобильные
аккумуляторы в окрестных деревнях полностью
разряжаются, а иногда электричество выключается
во всем поселке.

Рис. 6

9. Итог занятия (выяснение усвоение
ведущих идей)

1 .Нужна ли проверка полученных корней при
решении логарифмических уравнений или
установление соответствия полученных корней
ОДЗ? Почему?
2. Запишите область определения логарифмического
уравнения в
виде системы неравенств.
3. Учитель вместе с консультантами
аттестовывает наиболее активных учащихся.
4. В группах выслушивается мнения каждого ученика
о степени усвоения темы, о готовности к
итоговому зачёту и о сотрудничестве с
товарищами.

10. Домашнее задание: §18. (Алгебра и
начала анализа. 10 кл., автор Ю.М. Колягин и др.)
Проверь себя (стр. 125). Дополнительно (для
учащихся интересующихся математикой): №387-389.

Литература:

  1. Алгебра и начала анализа. 10 кл.,( автор Ю.М.
    Колягин и д. М: Мнемозина, 2004.)
  2. Занимательная алгебра (автор Я.И. Перельман М.:
    Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967. — 200 с.)
  3. Ресурсы Интернета (рисунки №1 – №6)
Ссылка на основную публикацию
2018