Изучение темы Объемы тел с помощью формулы Симпсона в 11-м классе

Учителя, работающие по учебнику Л.С. Атанасяна,
знают порядок вывода формул объемов для
изученных в 10-11 классах тел. Знают также и о том,
что формулы, начиная уже с формулы для объема
наклонной призмы, выводятся с помощью интеграла.
А сам интеграл изучается в курсе “Алгебры и
начал анализа”. Причем в программах (составители
Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк, Дрофа, 2000) основная
цель изучения темы “Интеграл” формулируется
так: “познакомить учащихся с интегрированием
как операцией, обратной дифференцированию;
научить применять первообразную для вычисления
площадей криволинейных трапеций”. Все! А в
геометрии – применяйте определенный интеграл
для вывода формул объемов.

Работая в 11 классе, замечал, что учащиеся
затрудняются применять интеграл для этих целей,
спрашивают, нельзя ли по-другому. Конечно, можно.
Один из вариантов – формула Симпсона. (Симпсон
Томас (1710-1761) – английский математик)

Как? Приведу возможный порядок изучения теории:

1. Понятие объема. Свойства объемов. (Л.С.
Атанасян).

2. Объем прямоугольного параллелепипеда (Л.С.
Атанасян).

3. Формула вычисления объемов тел с помощью
определенного интеграла (Л.С. Атанасян, но только
ввести саму формулу, она пригодится только для
следующего пункта).

4. Объем пирамиды.

а) Доказать, что треугольные пирамиды с
равновеликими основаниями и равными высотами
равновелики (это легко сделать, например, с
помощью той самой формулы вычисления объемов тел
с помощью определенного интеграла);

б) Формула объема треугольной пирамиды, имеющей
три взаимно перпендикулярных ребра, выходящих из
одной вершины (вывожу, “дополняя” треугольную
пирамиду до прямоугольного параллелепипеда);

в) Формула объема произвольной треугольной
пирамиды (опираясь на пункт а);

г) Формула объема произвольной пирамиды
(разбиваем произвольную пирамиду на треугольные
пирамиды).

5. Призматоид. Формула Симпсона.

Определение призматоида, несложное
доказательство самой формулы с иллюстрациями,
которые можно увеличить для работы на уроке,
исторические сведения приведены, например, в
книге И.И. Баврина, В.А. Садчикова “Новые задачи
по стереометрии” Москва. Владос. 2000. Там же есть
“оговорка” с доказательством на случай, если у
учащихся возникнет вопрос, почему эту формулу
можно применять, например, к шару. Ведь он – не
призматоид. При изучении теории я специально не
обратил внимание учащихся на это, применяя
формулу Симпсона ко всем телам, но потом было
дано задание: найти “слабое место” в этой
теории. Такие ученики нашлись. На следующем уроке
ими было сказано, что “формула Симпсона – только
для призматоидов, а мы ее применили и к цилиндру,
и к конусу, и к шару, и к частям шара” Вот здесь и
потребовалась та “оговорка”, о которой речь шла
выше.

6. Вывод формул объемов всех остальных тел с
помощью формулы Симпсона, включая объемы частей
шара.

К примеру, вывод формулы объема шарового
сегмента:

Такое изучение теории высвобождает время для
решения задач. Учащиеся с интересом относятся к
тому, что одна формула позволяет выводить все
остальные, что достаточно запомнить только ее. А
уж если забыл какую-нибудь другую, то она легко
получается из формулы Симпсона. Кстати, об этой
формуле речь идет и в книге Я.И. Перельмана
“Занимательная геометрия”.

Приведу отрывок из упоминавшейся выше книги
И.И. Баврина, В.А. Садчикова “Новые задачи по
стереометрии” с доказательством формулы
Симпсона для призматоида.

Призматоид — многогранник, все вершины
которого расположены на двух параллельных
плоскостях. Грани, расположенные на этих
плоскостях, называются основаниями призматоида.

Не будет противоречием определению
призматоида, если многогранник, у которого
верхнее и нижнее основания являются
разноименными многоугольниками, а боковые грани
— треугольники, мы будем называть призматоидом.

На рисунке многоугольник А1А2А3…Аn
верхнее основание призматоида, площадь этого
основания обозначим Sв; многоугольник В1В2В3…Вm
— нижнее основание призматоида, площадь этого
основания обозначим Sн; многоугольник С1С2С3…Сk
— среднее сечение призматоида площадь этого
сечения обозначим Sср; высоту призматоида
обозначим Н.

Ясно, что плоскость среднего сечения
призматоида пересечет боковые ребра в их
серединах, то есть граница среднего сечения
проходит по средним линиям боковых граней
призматоида. Так как плоскость среднего сечения
параллельна основаниям призматоида, то эта
плоскость проходит и через середину высоты Н
призматоида, что нашло отражение на рисунке в
виде двух расстояний Н / 2.

Вывод формулы Симпсона. В плоскости среднего
сечения С1С2С3…Сk выберем
произвольную точку Р. Соединим эту точку со всеми
вершинами призматоида. В результате точку Р
можно рассматривать как общую вершину
совокупности пирамид. Призматоид при этом можно
рассматривать как совокупность трех видов
пирамид:

1) пирамиды с вершиной Р и основанием А1А2А3…Аn,

2) пирамиды с вершиной Р и основанием В1В2В3…Вm,

3) (к-1) пирамид с вершиной Р и основаниями
соответственно треугольники А1В1В2,
А1В2А2, А2В2В3,…,
А1В1Вm.

Зная, что объем пирамиды вычисляется по формуле
V = (1/3)Sh, легко определить объемы каждого из трех
видов пирамид, составляющих исходный призматоид:

3) Рассмотрим одну из боковых пирамид, например,
пирамиду РА1В1В2. Объем этой
пирамиды

Аналогично можно представить объемы остальных
“боковых” пирамид.

Остается найти сумму объемов всех “боковых”
пирамид.

Суммируя объемы совокупности пирамид с
вершиной в точке Р, мы находим объем призматоида:

Ссылка на основную публикацию
2018